Вопросы цифровой фотографии: Введение в цветовые пространстваДля нормального просмотра этой страницы необходима поддержка JavaScript и CSS!
For correct viewing this page your browser must support JavaScript and CSS!

Немного математики

С.Н. Безрядин

Если спектральные яркости P(λ) объектов в интервале длин волн от 360 нм до 800 нм рассматривать как векторы в бесконечномерном векторном пространстве S_∞, то формула LD.2, с точностью до нормировок, связанных с выбором единиц измерения, может быть переписана в виде:

P = ∫ P(λ) × R(λ) dλ = P ⋅ R; (MB.1)

Если ||R|| = 1, и S₁ — подпространство, задаваемое базисом, состоящим из одного вектора R, то P будет координатой P_R векторной ортогональной проекции P на S₁.
Следовательно, детектор света регистрирует с точностью до постоянного множителя скалярную проекцию P на подпространство S₁, или, другими словами, детектор осуществляет ортогональное проектирование спектральных яркостей объектов из S_∞ на S₁.

В первой части этой статьи будут описаны некоторые свойства этого пространства и рассмотрены понятия:

скалярного произведения функций;
нормы функции как вектора в цветовом пространстве;
угла между функциями.

Итак, если считать, что спектральные яркости объектов P(λ) являются векторами в бесконечномерном векторном пространстве S_∞, то глаз человека осуществляет ортогональное проектирование этих спектральных яркостей из S_∞ на три базисных вектора e_l, e_m и e_s, которые задаются функциями l(λ), m(λ) и s(λ):

L = ∫ P(λ) × l(λ) dλ = P ⋅ l = P_l , (MB.2)

M = ∫ P(λ) × m(λ) dλ = P ⋅ m = P_m ,

S = ∫ P(λ) × s(λ) dλ = P ⋅ s = P_s .

Однако, как будет показано в дальнейшем, этот базис не ортогонален, поэтому P_l, P_m и P_s — являются не простыми, а ковариантными координатами вектора, которые должны использоваться с кобазисом e^l, e^m и e^s.

Далее будут рассмотрены понятия:

базиса и кобазиса;
ковариантных и контравариантных координат вектора;
и описана процедура построения кобазиса.

Функции на отрезке

Как известно из математики, множество гладких функций на замкнутом интервале [a, b] образует бесконечномерное векторное пространство L² над полем действительных чисел. В этом пространстве можно выбрать бесконечномерный базис (т.е. задать набор базисных функций)

{ ƒ₀(λ), ƒ₁(λ), ... ƒ _n(λ), ... }

и тогда любая функция P(λ), принадлежащая описываемому векторному пространству, может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций

P = ∑ P_n × ƒ_n ,

где коэффициенты { P₀, ... P_n, ... } являются координатами вектора P в выбранном базисе.

Пример 1: Разложение функции в ряд Тейлора

P(λ) =

∑

P_n × (λ − a)ⁿ ,

где P_n = P⁽ⁿ⁾(a) ⁄ n! .

Пример 2: Разложение функции в ряд Фурье

P(λ) =

∑

P_nƒ_n ,

где

ƒ_n =	⎧ ⎨ ⎩	1,				если n = 0
			__		n × π × (λ − a)
		√	2	× cos	—————— ,	если n ≠ 0
					b − a

P_n =		b	P(λ) × ƒ_n(λ) dλ .
	1	∫
	——
	b − a
		a

Определим скалярное произведение двух функций как

b

P₁ ⋅ P₂ = C_norm ∫ P₁(λ) × P₂(λ) dλ ,

a

где C_norm — нормировочный множитель.

Можно ввести определения нормы функции (длины вектора):

||P|| = _____

√ P ⋅ P

и угла между двумя функциями:

cos(P₁, P₂) = P₁ ⋅ P₂

————— ,

||P₁|| × ||P₂||

опираясь на определение скалярного произведения.

Нетрудно заметить, что первый из приведенных выше примеров базисов не ортогонален и не нормирован, а второй ортонормирован.

Дополнительные базисы

Для любого базиса в m-мерном векторном пространстве (подпространстве) { e_n } существует его кобазис { eⁿ }, который однозначно определяется соотношением:

e^k ⋅ e_n

δ^k_n (k, n = 1, ..., m) ,

где

δ^k_n	=	⎧ ⎨ ⎩	1	если n = k	⎫ ⎬ ⎭	— символ Кронекера
			0	если n ≠ k

Геометрически это соотношение означает, что вектор e^k кобазиса ортогонален ко всем векторам e_n, кроме e_k. Базис, совпадающий со своим кобазисом, называется ортонормированным: e_k ⋅ e_n = δ^k_n. В частности, все векторы ортонормированного базиса имеют единичную длину.

Любой вектор p в этом пространстве можно представить в виде:

p = pⁿ × e_n = p_n × eⁿ . В соответствии с принятым в физике и математике обозначением, выражение
pⁿ × e_n эквивалентно сумме по встречающемуся одновременно и сверху и снизу индексу:
∑ pⁿ × e_n , в то время как
x_n × y_n является произведением только двух величин x_n и y_n.
При этом величины
p_n = p ⋅ e_n называются ковариантными координатами, а
pⁿ = p ⋅ eⁿ являются контравариантными координатами вектора p.
Отметим, что скалярное произведение векторов равно:
x ⋅ y = xⁿ × y_n = x_n × yⁿ , и, вообще говоря, не равно
∑ x_n × y_n или ∑ xⁿ × yⁿ (исключение составляют, например, ортонормированные базисы).

Пример 3: Вектора на плоскости

p = p¹ × e₁ + p²× e₂ = p₁ × e¹ + p₂ × e² ;

p₁ = |OB| ⁄ ||e¹|| ,
p¹ = |OC| ⁄ ||e₁|| ;

p ⋅ e¹ = |OE| × ||e¹|| ,
p ⋅ e₁ = |OA| × ||e₁|| ;

|OE| = |OC| × cos(φ) ,
|OA| = |OB| × cos(φ) ;

отсюда легко заметить, что
p₁ = |OB| ⁄ ||e¹|| =
( |OA| ⁄ cos(φ) ) ⁄ ||e¹|| =
p ⋅ e₁ ⁄ ( ||e₁|| × ||e¹|| × cos(φ) ) = p ⋅ e₁ ,
т.к. e¹ ⋅ e₁ = ||e₁|| × ||e¹|| × cos(φ) = 1.
Аналогично: p¹ = p ⋅ e¹.

Пример 4: Процедура построения кобазиса

Для построения кобазиса можно использовать следующую процедуру:
Применим p_n = p ⋅ e_n для базисных векторов e_k.
Тогда e_k = ( e_k ⋅ e_n ) × eⁿ, что позволяет получить матрицу перехода от базиса { eⁿ } к базису { e_n }.
Поскольку вектора e_n нам известны, то соответствующая матрица

a_{n × k} = e_n ⋅ e_k может быть построена, а так как набор векторов линейно независим (базис), то матрица a_{n × k} — невырожденная, обратная ей матрица b^{n × k} существует и может быть вычислена. Таким образом, мы получим матрицу перехода от { e_n } к { eⁿ }.

Примечания:

Опубликовано 12.11.2003 г.
Редакция текста — Webmaster.

Ссылки по теме:

Основной недостаток сенсоров современных цифровых камер
О детекторах света
Обработка цвета

L =	∫	P(λ) × l(λ) dλ = P ⋅ l = P_l ,	(MB.2)
M =	∫	P(λ) × m(λ) dλ = P ⋅ m = P_m ,
S =	∫	P(λ) × s(λ) dλ = P ⋅ s = P_s .

cos(P₁, P₂) =	P₁ ⋅ P₂
	————— ,
	\|\|P₁\|\| × \|\|P₂\|\|