Немного математики
С.Н. Безрядин
Если спектральные яркости P(l) объектов в интервале длин волн от 360 нм до 800 нм рассматривать как векторы в бесконечномерном векторном пространстве SҐ, то формула LD.2, с точностью до нормировок, связанных с выбором единиц измерения, может быть переписана в виде:
| P = |
т |
P(l) Ч R(l) dl = P · R . |
(MB.1) |
Если ||R|| = 1, и S1 — подпространство, задаваемое базисом, состоящим из одного вектора R, то P будет координатой PR векторной ортогональной проекции P на S1.
Следовательно, детектор света регистрирует с точностью до постоянного множителя скалярную проекцию P на подпространство S1, или, другими словами, детектор осуществляет ортогональное проектирование спектральных яркостей объектов из SҐ на S1.
В первой части этой статьи будут описаны некоторые свойства этого пространства и рассмотрены понятия:
- скалярного произведения функций;
- нормы функции как вектора в цветовом пространстве;
- угла между функциями.
Итак, если считать, что спектральные яркости объектов P(l) являются векторами в бесконечномерном векторном пространстве SҐ, то глаз человека осуществляет ортогональное проектирование этих спектральных яркостей из SҐ на три базисных вектора el, em и es, которые задаются функциями l(l), m(l) и s(l):
| L = |
т |
P(l) Ч l(l) dl = P · l = Pl , |
(MB.2) |
| M = |
т |
P(l) Ч m(l) dl = P · m = Pm , |
| S = |
т |
P(l) Ч s(l) dl = P · s = Ps . |
Однако, как будет показано в дальнейшем, этот базис не ортогонален, поэтому Pl, Pm и Ps — являются не простыми, а ковариантными координатами вектора, которые должны использоваться с кобазисом el, em и es.
Далее будут рассмотрены понятия:
- базиса и кобазиса;
- ковариантных и контравариантных координат вектора;
- и описана процедура построения кобазиса.
Функции на отрезке
Как известно из математики, множество гладких функций на замкнутом интервале [a, b] образует бесконечномерное векторное пространство L2 над полем действительных чисел. В этом пространстве можно выбрать бесконечномерный базис (т.е. задать набор базисных функций)
| { ¦0(l), ¦1(l), ... ¦
n(l), ... } |
и тогда любая функция P(l), принадлежащая описываемому векторному пространству, может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций
где коэффициенты { P0, ... Pn, ... } являются координатами вектора P в выбранном базисе.
Пример 1: Разложение функции в ряд Тейлора
где Pn = P(n)(a) / n! .
Пример 2: Разложение функции в ряд Фурье
где
| ¦n = |
м
н
о |
1, |
если n = 0 |
| |
__ |
|
n Ч p Ч (l – a) |
|
| Ц |
2 |
Ч cos |
ѕѕѕѕѕѕ , |
если n № 0 |
| |
|
|
b – a |
|
| Pn = |
|
b |
P(l) Ч ¦n(l) dl . |
| 1 |
у
х |
| ѕѕ |
| b – a |
| |
a |
Определим скалярное произведение двух функций как
| |
|
b |
|
| P1 · P2 = |
Cnorm |
у
х |
P1(l) Ч P2(l) dl , |
| |
|
a |
|
где Cnorm — нормировочный множитель.
Можно ввести определения нормы функции (длины вектора):
и угла между двумя функциями:
| cos(P1, P2) = |
P1 · P2 |
| ѕѕѕѕѕ , |
| ||P1|| Ч ||P2|| |
опираясь на определение скалярного произведения.
Нетрудно заметить, что первый из приведенных выше примеров базисов не ортогонален и не нормирован, а второй ортонормирован.
Дополнительные базисы
Для любого базиса в m-мерном векторном пространстве (подпространстве) { en } существует его кобазис { en }, который однозначно определяется соотношением:
| ek · en |
= |
dkn (k, n = 1, ..., m) , |
где
| dkn |
= |
м
н
о |
1 |
если n = k |
ь
э
ю |
— символ Кронекера |
| 0 |
если n № k |
Геометрически это соотношение означает, что вектор ek кобазиса ортогонален ко всем векторам en, кроме ek. Базис, совпадающий со своим кобазисом, называется ортонормированным: ek · en = dkn. В частности, все векторы ортонормированного базиса имеют единичную длину.
Любой вектор p в этом пространстве можно представить в виде:
p = pn Ч en = pn Ч en .
В соответствии с принятым в физике и математике обозначением, выражение
pn Ч en
эквивалентно сумме по встречающемуся одновременно и сверху и снизу индексу:
S pn Ч en ,
в то время как
xn Ч yn
является произведением только двух величин xn и yn.
При этом величины
pn = p · en
называются ковариантными координатами, а
pn = p · en
являются контравариантными координатами вектора p.
Отметим, что скалярное произведение векторов равно:
x · y = xn Ч yn = xn Ч yn ,
и, вообще говоря, не равно
S xn Ч yn или S xn Ч yn
(исключение составляют, например, ортонормированные базисы).
Пример 3: Вектора на плоскости
p = p1 Ч e1 + p2Ч e2 = p1 Ч e1 + p2 Ч e2 ;
p1 = |OB| / ||e1|| ,
p1 = |OC| / ||e1|| ;
p · e1 = |OE| Ч ||e1|| ,
p · e1 = |OA| Ч ||e1|| ;
|OE| = |OC| Ч cos(f) ,
|OA| = |OB| Ч cos(f) ;
отсюда легко заметить, что
p1 =
|OB| / ||e1|| =
( |OA| / cos(f) ) / ||e1|| =
p · e1 / ( ||e1|| Ч ||e1|| Ч cos(f) ) =
p · e1 ,
т.к. e1 · e1 = ||e1|| Ч ||e1|| Ч cos(f) = 1.
Аналогично: p1 = p · e1.
|
|
Пример 4: Процедура построения кобазиса
Для построения кобазиса можно использовать следующую процедуру:
Применим pn = p · en для базисных векторов ek.
Тогда ek = ( ek · en ) Ч en, что позволяет получить матрицу перехода от базиса { en } к базису { en }.
Поскольку вектора en нам известны, то соответствующая матрица
an Ч k = en · ek
может быть построена, а так как набор векторов линейно независим (базис), то матрица an Ч k — невырожденная, обратная ей матрица bn Ч k существует и может быть вычислена. Таким образом, мы получим матрицу перехода от { en } к { en }.
Примечания:
Опубликовано 12.11.2003 г.
Редакция текста — Webmaster.
Ссылки по теме:
Основной недостаток сенсоров современных цифровых камер
О детекторах света
Обработка цвета
|